时辰：2024-04-16 16:05:05
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有个很闻名的“道旁苦李”的故事：畴前有个名叫王戎的小孩，一天他和小伴侣发明路边的一棵树上结满了李子，小伴侣一哄而上，去摘，尝了今后才知是苦的，独占王戎没动，王戎说：“假定李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，以是李子必然是苦的。”这个故事中王戎用了一种出格的体例，从背面阐述了李子为甚么不甜，不好吃.在数学里这类体例叫反证法.
反证法岂但在实际糊口和初等数学中有着普遍的操纵，并且在高档数学中也具备出格感化.数学中的一些首要论断，从最根基的性子、定理，到某些难度较大的天下名题，经常是用反证法证实的.即：提出假定――推出抵触――必定论断.
“反证法”固然是在立体多少讲义中呈现的，但对数学的其他各部份内容，如代数、三角、立体多少、剖析多少中都可操纵.上面经由进程详细的例子来申明其操纵。
一、否认人命题
证实：假定AB，CD不平行，即AB，CD交于点P，则过P点有ABEF，且CDEF，与“过直线外一点，有且只需一条直线垂直于已知直线”抵触.假定弊端，则AB∥CD
否认论断导出抵触是反证法的使命，但甚么时辰呈现抵触，呈现甚么样的抵触是不能展望的，也不一个机器的规范，有的乃至是捉摸不定的.普通老是在命题的相干范畴里斟酌（比方，立体多少标题标题题目经常接洽到相干的正义、界说、定理等），这恰是反证法推理的特色.是以在推理前不用要也不能够或许或许或许事前划定要得出甚么样的抵触.只需精确否认论断，严酷遵照推理法例，停止步步有据的推理，抵触一经呈现，证实即告竣事.
【中图分类号】G633.6
1 弁言
公元前六世纪中期的古希腊七贤之首--泰勒斯最早引入了数学证实的思惟，公元前三世纪的古希腊数学家欧几里德第一个最普遍、最纯熟地操纵了数学证实，我国数学家江泽函则指出："不数学证实，就不数学"。反证法是数学证实中的一种直接证实体例，在数学命题的证实中被普遍操纵。欧几里德证实"素数有不穷多"、欧多克斯证实"两个正多边形的面积比即是其对应线段比的平方"、"鸽子道理"和"最优化道理"的证实等都用了反证法。可是因为在现行的各类讲义中不对反证法给出系统的先容，先生对反证法道理的懂得和得当地操纵也存在不少的标题标题题目，故本文在此"举一反三"。
2 反证法内在
2.1 甚么是反证法
法国数学家阿达玛说过："反证法在于标明，若必定定理的假定而否认其论断，就会致使抵触。"即先假定命题中论断的背面建立，连系已知的定理前提，停止精确的推理、论证，得出和命题中的题设或后面进修过的界说、正义、定理、已知的实际相抵触，或自相抵触的成果，从而鉴定命题论断的背面不能够或许或许或许建立，是以鉴定命题中的论断建立，这类证实的体例就叫做反证法。
2.2 反证法的道理
2.2.1 抵触律
抵触律是亚里士多德的情势逻辑的根基纪律之一，其根基内容是：在同一个论证进程中，对同一东西的两个相抵触的、对峙的鉴定，此中起码有一个是假的，它的公式是：不是。如对""这个东西，"是有理数"和"是在理数"的两个鉴定中起码有一个是假的。
2.2.2 排中律
排中律是情势逻辑的由一个根基纪律，其根基内容是：在同一个论证进程，对同一东西的必定鉴定和否认鉴定。这两个相抵触的鉴定必有一个是真的，它的公式是：或是或是，消除了第三种环境的能够或许或许或许，在数学论证中常按照排中律停止推理。如要证实"是有理数"，只需证实"不是有理数"不真就够了。这是因为"不是有理数"和"是有理数"是东西的两个相抵触的鉴定，按照排中律，此中必有一个是真的。
2.3 操纵反证法证实论题的步骤
操纵反证法证实数学命题""，起首，必须弄清晰命题的前提和论断，而后按以下步骤停止论证：
第一步：否认命题的论断，作出与相抵触的鉴定，取得新的命题；
第二步：由动身，操纵得当的界说、定理、正义停止精确的归纳推理，引出抵触成果；
第三步：鉴定产生抵触的缘由，在于鉴定不真，从而否认，必定原论断建立，直接证实了原命题。
阐发上述三个步骤能够或许或许或许发明，操纵反证法的关头在于由新的论题归纳出一对抵触，普通为推出的成果与某一界说、定理、正义、已知前提、所作题断抵触，或是推出两个彼此抵触的成果。
值得重视的是在操纵反证法证实命题时要当真详尽地审题，若发明与论题论断相抵触方面有不止一种环境，必须予以逐一否认。且偶然并非全数操纵反证法，它能够或许或许或许只在证实进程中局部地呈现。
3 反证法在证实论题中的操纵
反证法是首要的证实体例，在多少、代数等范畴都有普遍的操纵，现分类举例申明。
3.1 反证法在多少中的操纵
3.2 反证法在代数中的操纵
4 结语
由上可知，用反证法证实一些标题标题题目时，有着别的体例所不能替换的感化。师生在体会了反证法的特色、证实进程及操纵"须知"后，增强操练、不时总结，就能够或许或许或许谙练地操纵了。
参考文献：
[1] 杜永中.反证法[M].四川：四川教导出书社，1989：20.
反证法又称归谬法、背理法，是一种论证体例，属于“直接证实” 的一种（援用于现行人教版数学讲义）.所谓反证，便是将要证实的背面环境驳倒就能够或许或许或许够了.起首假定原命题不建立（即咱们在原命题的前提下，假定论断不建立），据此推导出较着抵触的成果，从而得出论断说原假定不建立，原命题得证.
对反证法的逻辑按照不得不提两个首要的思惟体例――“抵触律”和“排中律”.抵触律：在同一论证进程中，两个彼此否决或彼此否认的论断，此中起码有一个是假的.排中律：任何一个命题鉴定或思惟或为真或为假（不真），两者必居其一. 法国数学家J・阿达玛曾归纳综合为：“这证法在于标明：若必定定理的假定而否认其论断，就会致使抵触.”这便是说反证法并非直接证实命题的论断，先是提出与需证论断背面的假定，而后推导出和正义、定理、界说或与题中假定相抵触的成果.如许，就证实了与待证命题的论断相反的假定没法建立，从而必定了本来待证命题.用反证法实现一个命题的证实，大致上有三个步骤：否认论断 推导出抵触 论断建立.
二、反证法在数学解题中的操纵
（一）在必定人命题中的操纵
即论断以“……老是……”、“……都……”、“……全……”等呈现的，这类必定人命题能够或许或许或许用反证法停止测验考试.
如（代数标题标题题目）求证：不论n是甚么天然数，老是既约分数.
证实：假定不是既约分数，
令21n+4=k？琢 （1），14n+3=kb （2），（k，？琢，b？缀N，k>1）
既约，由（2）×3-（1）×2得3kb-2k？琢=1？圯3b-2？琢=，因为3？琢-2b整数，为分数，则3？琢-2b=不建立，故假定不建立，分数是既约分数.
（二）在否认人命题中的操纵
即论断以“不……”“不是……”“不能……”等情势呈现的命题.
（三）在限制人命题中的操纵
在命题论断中含有“起码”、“未几于”、“最多”或“最多”等词语.
如（代数标题标题题目，抽屉道理）把2110人分红128个小组，每组起码1人，证实：起码有5个小组的人数不异.
证实：如若128个小组中，不5个小组的人数不异.则最多有4个小组的人数不异.那末差别人数的小组是：128÷4=32个，对32个小组，咱们如许分组：有4个组每小组1人，有4个组每小组2人，有4个组每小组3人，依法分组……有4个组每小组32人，故有：
4×（1+2+3+……+32）=4×[32×（1+32）÷2]=2112
如许2112-2110=2（人） ，多出2人.故以上多于1人或2人的某一个小组人数就削减1人或2人，那末不异人数的组数就比4个多了，即5个或多于5个以上. 故起码有5个小组的人数不异.
（四）在不等量命题中的操纵
不等式是先生需把握的一大重点.当不等式的背面环境比拟少时，题中若请求证实不等式建立时，那末只需用反证法来证实其背面不建立.
（五）在互抗命题中的操纵
已知原命题是精确命题，在求证其抗命题时能够或许或许或许操纵原命题论断，此时反证法为解题供给更多便利.
如（立体多少标题标题题目）
原命题：若四边形有一个内切圆，则对边之和必相称.
抗命题：若四边形对边之和相称，则它必有一个内切圆.
抗命题的证实：
三、对反证法操纵的思虑
（一）在解题时，细心审题是第一步.当操纵反证法时，精确否认命题的论断是首要标题标题题目.要使一个待证命题的论断建立，需按照正难则反的准绳.从论断的背面来直接思虑标题标题题目，值得重视的是命题论断的背面环境并非独一.若论断的反设只需一种环境，称之为简略归谬.比方，证实根号2是在理数，只需证根号2不是有理数.若论断的背面不止一种环境，称之为穷举归谬.必须将一切能够或许或许或许环境全数例举出来，并须要不重不漏地逐一否认，只需如许能力必定原命题论断建立.比方，证实某类数不为正数，则能够或许或许或许从正数的背面正数与零动手.
（二）明白逻辑推理的特色
反证法的使命起首需否认论断导出抵触.至于呈现甚么样的抵触，甚么时辰呈现抵触，抵触是以何种体例存在，都是咱们没法计较和展望的.证实的进程不一个机器的同一规范，但终究城市取得抵触，而这个抵触普通老是在命题的相干范畴内停止斟酌.比方，空间剖析多少，立体多少，代数等标题标题题目经常与相干的正义、定理、界说等相接洽.正因为与这些公式的法例，定理彼此抵触，进而申明原论断的精确性.这便是反证法的推理特色.做到精确否认命题论断，严酷遵照推理法例，推理进程中步步有理有据，抵触呈现时，证实就已实现.
（三）体会产生抵触的品种
凡是，人们在做数学论证时，经常习气于用直接法正向求证，由前提慢慢推出成果，可是，偶然候对某一些数学标题标题题目，按照已知前提很难推出所请求的论断，这就请求咱们必须测验考试用另外一种体例停止直接论证，这便是咱们凡是所説的反证法。
看上面例子：
例1 把1600颗花生分给100只山公，证实：不论若何分法，起码有四只山公取得的花生一样多。
解法探析：假定最多有三只山公分得的花生数不异，咱们从所需花生起码的环境斟酌：
3只山公各分得0颗花生，
3只山公各分得1颗花生，
3只山公各分得2颗花生，
、、、 、、、
3只山公各分得32颗花生，
最初一只山公分得33颗花生。
如许，100只山公共需花生 3×﹙1﹢32﹚×32∕2 ﹢33＝1617（颗）
这与题设只需1600颗花生抵触，故原命题建立。
经由进程以上例子，对这类用直接证法难以动手的标题标题题目，用反证法求解时则很是简洁，那末实际若何操纵反证法呢？
（一） 凡是来说，用反证法时有三个步骤：
ⅰ 反设
“反设”便是精确的否认论断。因为它是反证法的动身点，以是若是反设呈现弊端，将致使通盘皆错。对“反设”应重视：
1 起首要弄清标题标题题目标前提和论断；
2 夸大“反设”是对论断的全否认。
比方 求证：若a，b为天然数，且a×b是奇数，则a，b都是奇数。
论断的背面应是：“a，b不都是奇数”。而不是：“a，b都不是奇数”。
ⅱ 归谬
以“反设”为动身点，题设前提为按照，经由进程精确推理，得出抵触。这是反证法的焦点。
因为反证法推出抵触的范例良多，呈现抵触的景象又比拟庞杂，是以在停止归谬时，经常会堕入窘境，乃至对本身的精确推理产生迷惑，是以，举例説明推出抵触的首要范例：
①与客观实际抵触
例 高一有400名先生，求证：这400名先生中起码有两名先生的诞辰是不异的。
证实：假定400名先生的诞辰都不不异，那末一年将有400天，这与客观实际相抵触，故原命题建立。
②与正义，定理抵触
例 若是两直线都平行与第三条直线，则这两条直线也彼此平行。
证实：假定这两条直线不平行，则必然订交于一点。如许就得出：过直线外一点，能做出两条直线与该直线平行的直线。这与平行正义抵触。
③与题设抵触
比方 后面山公分花生的例子，由假定求出的成果共需花生1617颗，而题设只需1600颗花生，抵触。
④与反设抵触
ⅲ 存真
由所得抵触必定原命题建立。
（二）反证法的合用规模
甚么范例的数学命题能够或许或许或许用反证法证实呢？普通来説，对“若A则B”一类的数学命题，都能用反证法来证实，但难易水平差别，就大都题来説，直接证法比拟简便。是以在证题时，起首应斟酌操纵直接证法。当用直接证法没法动手乃至不能够或许或许或许时，可斟酌操纵反证法。
凡是来说，以下环境能够或许或许或许斟酌操纵反证法：
（1）已知前提很少或由已知前提能推得的论断很少；
（2）命题的论断以否认情势呈现时；
（3）命题的论断以“最多”、“起码”的情势呈现时；
（4）命题的论断以“独一”的情势呈现；
（5）命题的论断以“无穷”的情势呈现时；
（6）对存在人命题；
（7）某些定理的逆定理．
总之，正难则反，直接的东西较少、较笼统、较坚苦时，其背面常会较多、较详细、较轻易．反证法偶然也用于全部命题论证进程的某个局部关键上．
以上简略列出了操纵反证法推出抵触的首要范例，便利咱们参考，应当重视的是，一个数学命题，实际操纵那种证实体例更便利一些，要详细标题标题题目详细阐发，切不可生吞活剥。
参考文献
1 “正难则反”好思绪 峰回路转现天堑
作者：朱浩； 福建中学数学2009年第05期
反证法完整解读
作者：陈素珍 中先生数理化（高二版）2010年第02期
中图分类号：G630 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2013）-10-0310-02
法国数学家达玛说：“反证法在于标明：若必定定理的假定而否认其论断，就会致使抵触。”这是对反证法精炼的归纳综合。在数学讲授中，作为一位教员不但需正视常识的教授，更应当正视对先生停止智力开辟和能力培育。反证法是冲破思惟定势，从相反的标的目标研讨事物的活动，无疑是一种开辟思绪的体例，能够或许或许或许增强先生的进修乐趣和思惟转换能力，对进步先生的阐发标题标题题目和处理标题标题题目标能力将大有好处。
一、反证法的观点
反证法便是从否认命题的论断动身，颠末推理，得出和已知前提或和其他命题相抵触的论断，或在推理进程中得出自相抵触的论断，从而到达命题论断精确的数学体例.欲证命题“A是B”，从背面推导“A不是B”不能建立，从而证实“A是B”。它从否认论断动身，颠末精确，严酷的推理，取得与已知（假定）或已建立的数学命题相抵触的成果，查处产生抵触的缘由，不是因为推理的弊端，而是起头时否认论断而至，是以原命题的论断是精确的。以上内容能够或许或许或许简略归纳综合为：反设、归谬、论断三个步骤。
二、反证法证题的步骤
用反证法证题普通分为三个步骤：
1.反设 假定所要证实的论断不建立，而设论断的背面建立；
2.归谬 由“反设”动身，按照已知正义，界说，定理等停止层层周密精确的推理；
3.论断 在推理进程中呈现抵触，申明反设不建立，从而必定原论断建立。
上面举几个例子来申明数学中是若何操纵反证法的。
例1 证实：在ABC中，若sinA
证实 假定∠A不是锐角，则∠A必是直角或钝角。
I.若是∠A是直角，则sinA=1
II.若是∠A是钝角，令∠A=180°-？琢（？琢为锐角）.则sinA=sin（180°-？琢）=sin？琢
因为∠B是锐角，以是a
综上所述，由I，II可知，∠A必为锐角。
三、反证法中罕见的抵触情势
1.与题设抵触
例2 若0°
证实 设sinx=cosx，则sin2x=cos2x？圯1-cos2x=cos2x=■.
以是 即x=45，这与0°
从而sinx≠cosx.
2.假定抵触
例3 已知？琢，？茁为锐角，sin（？琢+？茁）=2sin？琢，，求证？琢
证实 设？琢≥？茁，则2？琢≥？琢+？茁.因为2sin？琢=sin（？琢+？茁）≤1，可得sin？琢≤■，即？琢≤30°.
是以2？琢，？琢+？茁都是锐角.
以是sin（？琢+？茁）≤2sin？琢，即2sin？琢≤sin2？琢.
由此可得：cos？琢>1与假定抵触.
从而？琢
3.与已知的界说，定理，正义抵触，即得出一个恒假命题
例4 已知如图，弦AB，CD都不是直径，且订交与点P，求证： AB，CD不能彼此等分.
证实 假定AB与CD能彼此等分，即PA=PB，PC=PD.
又因AB，CD，都不是直径
以是P点与圆心不重合
故存在线段OP，毗连OP
又因PA=PB
以是OPAB（等分弦的直径垂直与弦）
又因PC=PD
从而OPCD（等分弦的直径垂直与弦）
如许，过点P有两条直线AB，CD都垂直与OP，这与过一点有且只需一条直线与已知直线垂直的正义想抵触，故AB与CD不能彼此等分.
注：有些题看似简略，但要从正面动手几近是不能够或许或许或许的。
4.自相抵触
例5 若是一个三角形的两个内角的角等分线相称，则这个三角形是等腰三角形.
已知在ABC中，角等分线CW，CV相称.求证：AB=AC
证实 如右图，过V与W别离引直线平行于BA与BV，设交点为G，毗连CG，别离用？琢，？茁表现，∠ABC，∠ACB的一半，用？茁'，？琢'别离表现∠VCG，∠VGC，则由WG=BV=CW，可知WG=CW，故∠WGC=WCG.即？琢+？琢'=？茁+？茁'.
设AB≠AC，则？茁≠？琢，比方？琢>？茁（若是？茁>？琢，同理），是以由？琢+？琢'=？茁+？茁'取得？琢'>？茁'，故VG>VC，因为VG=BW，以是VC
但在CBV与BCW中，BC=CB，BV=CW，？琢>？茁，故VG>BW，同VG
四、操纵反证法证题中应当重视的标题标题题目
1.有些多少标题标题题目用反证法证实时，经常把图形居心作错，在否认了假定今后，这些图形就被否认了。
2.反证法中要对论断做周全的否认.出格要重视的是，碰到“都…”，“一切…”，“任何…”这一类论断，而要否认时，最易犯的弊端是把“不”加到表现“全部”寄义的词后面，犯了否认不全的弊端。
3.否认论断后请求推理精确无误，步步有据，并且要真正推出抵触。由推理本身的弊端而产生的抵触，不能作为反证法的按照。
4.在推理进程中必须要用到“已知前提”，不然证实将会犯错。
5.反证法普通无需特地去证某一特定论断，只需由否认论断而致使抵触便可。
经由进程以上对反证法的各类表述，咱们晓得了反证法在数学解题中有着无足轻重的感化，它不但是一种首要的证题体例，并且对传统的定向解题的思惟情势是一种立异，这更有益于进步数学中倡导的逻辑思惟，是以把握好反证法长短常首要的。
参考文献
[1]沈文选.初等数学解题研讨[M].湖南：迷信手艺出书社，1996.
2 反证法的界说
甚么是反证法？法国数学家阿达玛曾对它做了一个精炼的归纳综合：此证法在于标明：若必定定理的假定而否认其论断，就会致使抵触．可见，操纵推理中呈现的抵触能够或许或许或许证实数学中的一些论断，这便是反证法．
反证法是从一个否认原论断的假定动身，颠末精确的推理而取得（与正义、定理、题设等）相抵触的论断，因为推理和援用的证据是精确的，是以呈现抵触的缘由只能以为是不是认原论断的假定是弊端的，从而取得原论断建立．
用反证法不是从正面必定论题的实在性，而是证实它的反论题为假或改证它的等价命题为真．
既然反证法是直接证法,那末反证法也是经由进程证实原命题的等价命题从而证实原命题的。反证法是指:“证实某个命题时,先假定它的论断的否认建立,而后从这个假定动身,按照命题的前提和已知的真命题,颠末推理,得出与已知实际(前提、正义、界说、定理、法例、公式等)相抵触的成果。如许,就证实了论断的否认不建立,从而直接地必定了原命题的论断建立。”这类证实的体例,叫做反证法。操纵反证法证题普通分为以下三个步骤。
1.假定命题的论断不建立;
2.从这个论断动身,颠末推实际证,得出抵触;
3.由抵触鉴定假定不精确,从而必定命题的论断精确。
即:提出假定―推出抵触―必定论断。
反证法在线性代数解题中的操纵很是普遍,但甚么时辰应当操纵反证法,证实哪些命题适合操纵反证法,都不用然的纪律可循。准绳上说,应当因题而异、以简为好。起首从正面斟酌,当不易证实时,再从背面斟酌。当由假定原命题论断的否认建立去推出抵触比证实原命题更轻易时,就应当操纵反证法。
二、反证法在解线性代数题时的操纵
1.对论断是不是认情势的命题,宜用反证法。
因为界说、定理等普通是以必定的情势呈现,是以用它们直接证实否认情势的命题能够或许或许或许会有坚苦。但否认的背面是必定,是以从论断的背面动手,即用反证法来证会比拟便利。
例1.设矩阵A的特色值λ≠λ,对应的特色向量别离为α、α,证实:α-α不是A的特色向量。
证实:假定α-α是矩阵A的特色向量,则存在数λ,使A(α-α)=λ(α-α)=λα-λα。又由题设前提可知Aα=λα、Aα=λα,是以A(α-α)=Aα-Aα=λα-λα,则有λα-λα=λα-λα,即(λ-λ)α+(λ-λ)α=0。因α、α是属于差别特色值的特色向量,故α、α线性有关,则λ-λ=λ-λ=0,也即有λ=λ。与题设λ≠λ抵触,以是α-α不是A的特色向量。
2.对证实论断是“必定”或“必然”的命题,宜用反证法。
即命题论断中呈现“即是甚么”、“必然是甚么”、“必然是甚么”等情势,并且从背面较易动手解题时,可斟酌操纵反证法。
例2.若λ不是A的一个特色值,则矩阵λE-A必然是可逆矩阵。
证实:用反证法,即设矩阵λE-A不可逆,则行列式|λE-A|=0,申明λ是特色方程|λE-A|=0的根,也即申明λ是A的一个特色值,与已知抵触。以是矩阵λE-A必然是可逆矩阵。
例3.设β可由α,α,…,α线性表出,但不能由α,α,…,α线性表出,证实α必然可由β,α,α,…,α线性表出。
证实:用反证法,由题设可知,存在一组常数k,k,…,k,使得β=k,α+kα+…+kα。假定k=0,则存在一组常数k,k,…,k,使得β=kα+kα+…+kα建立,以是β可由α,α,…,α线性表出,这与题设抵触,即k≠0;以是α=β+(-)α+(-)α+…+(-)α,即α必然可由β,α,α,…,α线性表出。
3.对证实论断是“独一”或“必然”的命题,宜用反证法。
即命题论断请求证实某元素是“独一”或某种表现体例是“独一”的,而直接去找某个元素或某种表现体例比拟坚苦时,则可斟酌从其背面动手。
例4.设向量β可由向量组α,α,…,α线性表出,证实:表现式独一的充实须要前提是向量组α,α,…,α线性有关。
证实:由题设,存在常数k,k,…,k,使得kα+kα+…+kα=β(1)。
证实充实性:设向量组α,α,…,α线生有关,来证β由α,α,…,α的线性性表现式独一。
假定β由α,α,…,α的线性表现式不独一,设另有线性表现式为lα+lα+…+lα=β(2)。则k≠l(i=1,2,…,m),则(1)式与(2)式相减得:
(k-l)α+(k-l)α+…+(k-l)α=0。
因为α,α,…,α线性有关,故得k-l=0,即k=l(i=1,2,m)。这与k≠l(i=1,2,…,m)抵触,即β由α,α,…,α线性表现式是独一的。
证实须要性:设线性表现式(1)独一,来证α,α,…,α线性有关。
假定α,α,…,α线性相干,则存在一组不全为0的数λ,λ,…λ,使得λα+λα+…+λα=0(3)。则(1)式与(3)式相加得:(k+λ)α+(k+λ)α+…+(k+λ)α=β。因为λ,λ,…,λ不全为0,从而存在β的两种差别表现体例,这与β由α,α,…,α的线性表现式独一抵触,是以向量组α,α,…,α线性有关。
4.对证实论断是“起码甚么”或“最多甚么”的命题,宜用反证法。
例5.试证:向量组α,α,…,α(此中α≠0,s≥2)线性相干的充实须要前提是起码有一个向量α(1≠i≤s)能够或许或许或许被α,α,…,α线性表出。
证实充实性:设有向量α能够或许或许或许由α,α,…,α线性表出,则α,α,…,α线性相干。因为α,α,…,α是α,α,…,α的一个局部组,以是α,α,…,α线性相干。
证实须要性:用反证法,假定每个α(1≠i≤s)都不能由α,α,…,α线性表出。咱们接上去来证实α,α,…,α线性有关,设有一组数k,k,…,k,使得kα+kα+…+kα=0(1),
则必有k=0,不然k≠0时,α可由α,α,…,α线性表出,与假定不符。如许(1)式成为kα+kα+…+kα=0。同理可推出k=0,…,k=0,是以(1)式成为kα=0。
又已知α≠0,故得k=0。以是向量组α,α,…,α线性有关,与须要性的题设抵触,假定不建立。即起码有一个向量α能够或许或许或许由α,α,…,α线性表出。
5.对某些抗命题的精确性,可用反证法。
当原命题与其抗命题都建立时,其抗命题的精确性可用反证法来证实。
例6.设A是n阶实对称矩阵。试证:r(A)=n的充实须要前提是存在矩阵B,使AB+BA是正定矩阵。
证实须要性:由r(A)=n知A是可逆矩阵,取B=A,则有AB+BA=AA+(A)A=AA+(A)A=2E为正定矩阵。
证实充实性:用反证法,假定r(A)≠n,则n元齐次线性方程组AX=0有非零解,即有X≠0,使AX=0,也就有XA=0。由(AB+BA)=BA+AB=AB+BA,申明AB+BA是实对称矩阵。
上述X≠0时,f=X(AB+BA)X=0,与AB+BA是正定矩阵抵触,以是r(A)=n。
参考文献:
[1]钱椿林.线性代数(第二版)[M].北京:高档教导出书社,2005.
[2]王中良.线性代数解题指点[M].北京:北京大学出书社,2004.
一、三段论的格
作为一门陈旧的学科，逻辑已有两千多年的汗青。所谓逻辑便是一种能够或许或许或许保留预设真值的推理体例。作为逻辑的根本，咱们固然不能健忘亚里士多德和他的三段论。可是对三段论人们仍是普遍存在着曲解。
凡是人们所言的三段论并非完整意思上亚里士多德的实际，就犹如中学讲义中的多少正义化系统与《多少本来》相差甚远一样，糊口中最罕见的三段论只是亚里士多德所分别的二十四个式中的一种情势，而亚里士多德的成绩更多表现在《后阐发篇》中对正义化的研讨，这一点离公共过于悠远，在此不作会商。
更首要的是，人们对婉言三段论的根基情势过于疏忽，而这类情势对推理有决议性的感化，请看上面两个例子。
推理1 推理2
一切动物都须要水 一切动物都须要水
三叶草是动物 三叶草须要水
以是三叶草须要水 以是三叶草是动物
这两个推理都精确吗？虽然前提都精确，论断就常识而言也不错，可是从逻辑角度看，推理2是弊端的，因为从“三叶草须要水”推出“三叶草是动物”实在证据缺乏，如推理1所示，精确的推理情势是如许的：
1.一切B是A
2.并且一切C是B
3.那末一切C是A
这便是根基的逻辑定理，此中1、2称为前提，3称为论断。精确的情势为前提1的主项是前提2的谓项，其他词项组成论断，此时前提的真值必然决议论断的真值。这类情势称为三段论的格，用Venn表现如图1，C是A的子集是很较着的。
图1
反观推理1与推理2，咱们在操纵三段论时必然要松散。实在良多论断不周密的推理大多都犯有词项地位的弊端。
二、反证法的道理
反证法是一种简略却又行之有用的证实体例，从其创建至今就一向被普遍操纵。它的长处是，即便不晓得若何直接证实，也能区分该命题的真伪。最根基的实际便是，一个命题的反命题致使了抵触，则原命题是精确的。
在反证法中，咱们把待证的论断的背面作为一个前提，按照精确的三段论道理推理，并终究寻觅出与实际的直观抵触或于理不符的地方。而论断的虚实由前提而定（前文已阐述），这个抵触申明假定有误，是以它的反命题（即待证命题）是精确的。
三、反证法在中学阶段的操纵
以上论述了逻辑推理的根本和反证法的道理，上面是对反证法操纵的会商。
中学阶段中，反证法在多少中的操纵并未几见。可是，立体多少中的反证法却妙趣横生，它们精巧的构想使人赞叹，阿基米德乃至用此法证实了圆的面积计较公式。在此我摘录《本来》中的一个命题为反证法的一个例子。
若是两圆订交，那末它们不能有不异的圆心。
设：圆ABC与圆CDG订交与B、C两点（如图）。
证实：假定有不异的圆心为E，毗连EC，肆意连一条线EFG，
因为G为圆ABC的圆心，以是EC即是EF，
又因为E为圆CDG的圆心，以是EC即是EG，
以是EG即是EF。
是以局部大于全体（违反第5正义）这不能够或许或许或许。
以是：E不是圆ABC、CDG的圆心。
以是：两圆订交不能够或许或许或许有圆，证完。
另外一个例子来自图论，有过比赛履历的人对此模子长短常熟习的。
两人或两人以上的人群中，人们彼此与熟人握手，那末起码两小我的握手次数不异。
证实：以报酬极点，仅当两小我握手时，在此二人世连一边，组成一个图G（V，E），设V=［V，V，…，V］，没干系设各项的度数为d（v）≤d（v）≤…≤d（v），
若等号皆不建立，则有d（v）＜d（v）＜d（v）＜…＜d（v），
（1）若d（v）=n-1，则每个极点皆与v相邻，是以d（v）≥1，
以是d（v）≥2，…，n，d（v）≥n与d（v）=n-1相违.
（2）d（v）＜n-1，因为d（v）＜d（v）＜…＜d（v），且d（v）≥0，d（v）≥1，d（v）≥2…d（v）≥n-1，与d（v）＜n-1相违，故假定不建立，以是d（v）≤d（v）≤…≤d（v），此中起码有一处等号建立，即起码两小我握手次数不异，证完。
经由进程两个例子的展现，反证法行之有用的特色一目明了。不过反证法机关的技能性是有难度的。是以我在这里总结中学数学中反证法的经常操纵场所。
（1）命题以否认情势呈现；
（2）独一性的命题；
二、降服反证法讲授心思妨碍
先生的心思布局的成长进程包含图式—异化—适应—均衡等四个进程。当一个新常识呈现时，先生起首是用旧的熟悉布局对其停止诠释与接收，将新常识归入本来的熟悉布局当中。当本来的熟悉布局不能诠释，不能包容新常识时，则外部系统及对原有熟悉布局停止从头改选，扩大。使之足以包摄新常识，到达新的均衡。先生在以往进修的只是直接证实体例，推理中的每步在感知上和逻辑上都不会与本来的常识系统和熟悉图形彼此抵触。他们在详细证实某一标题标题题目时，只须将标题标题题目详细内容“异化”到他们本来的熟悉布局或归纳系统中去。这类感知上与逻辑上的分歧性已构成了他们停止归纳推理的心思根本，成为他们到达心思均衡的按照。操纵直接证实体例时，也有心思妨碍存在，但那是因为在错觉影响下，或鄙人熟悉感化下的缘由所形成的。而进修反证法时，推理进程中呈现的是感知与逻辑上抵触的景象，与错觉或下熟悉是差别的。要使先生真正把握反证法。不将先生本来的归纳系统进步到更高的条理，也便是停止“适应”的进程，是不能够或许或许或许的。反证法的讲授，不应拘泥于讲义，宜接纳分离难点，慢慢渗入，不时深入的体例。有步骤、有打算地落实到讲授当中，侧重培育先生停止情势归纳的能力。
成果，指点先生操练时，必然要凸起两点：一是要将论断的背面当做新的已知前提后，能力由此推出抵触的成果，不然就不能致使抵触。二是推理要合适逻辑，不然即便推出了抵触后，也不能断言假定不建立。也便是说在“归谬”的进程中其推理应是自作掩饰的，其抵触的产生并非别的缘由，只因反设不建立而至。同时，致使抵触又有如下几种环境：一是与已知前提抵触。
二是与已学界说、正义、定理相抵触。三是与题设相抵触。
3、“论断”的操练：“反证法”中的论断是指最初得出所证命题的论断。讲授时，必然要严酷请求“论断”精确。不然，将半途而废。
（四）比拟辨析，得当操纵“反证法”
“反证法”在多少、代数、三角等方面都能操纵。讲授时，为了扩大先生的视线，激起先生主动性，可得当补充这方面的操练题。另外一方面，先生学了“反证法”今后，诡计甚么证实题都想用“反证法”来证，成果使一些简略标题标题题目庞杂化了，乃至画蛇添足。讲授时还应夸大，甚么时辰用“直接证实法”，甚么时辰用“反证法”，应依所证命题的详细环境得当操纵。 准绳上是“以简
（一）浅近事例引入“反证法”的根基思惟
先生刚打仗“反证法”时，对此法中按照排中律而“否认背面，必定正面”的根基思惟感应目生。讲授时，可经由进程先生已有实际体味的浅近的糊口方面的事例让先生慢慢体会。起头将“反证法”用于解题时辰，也宜于用先生已把握的并且也是最浅近的例子引入。
（二）精讲例题，找出“反证法”的根基纪律
有后面的根本，就要重视讲好每个具备代表性的例题。出格是首要讲好建立新观点或引出新体例时的第一个例题。讲授时，宜于操纵详细的多少实例。慢慢申明证实的进程，并开导先生沿着思惟纪律停止思虑，得出“反证法”的普通步骤和纪律：
1、反设：将论断的的背面作为假定。
2、归谬：将“反设”作前提，由此推出和题设或和正义、界说、已证的定理相抵触的成果。
3、论断：申明“反设”不建立，从而必定论断不得不建立。
（三）增强操练，培育用“反证法”证题的根基能力
在先生开端体会“反证法”的根基思惟，把握“反证法”的根基体例今后，还应靠充足的操练来慢慢培育先生操纵“反证法”证题的能力。操练要有针对性，要重点凸起，按照“反证法”的特色，操练的侧重点应放在“反设”、“归谬”、“论断”三个方面。
1、“反设”的操练：“反设”即为“否认论断”，它是反证法的第一步，它的精确与否，直接影响着“反证法”的后续局部，先生初学时，经常去否认假定，讲授时，应重视改正。要凸起“反设”的寄义便是“将论断的背面作为假定”。在思虑路子上可指点先生按以下几步停止：第一要弄清所证命题的题设和论断各是甚么。第二找出论断的周全相反环境，重视不要遗漏又不要反复。第三否认时用“不”或“不是”加在论断的后面，再把句子化简。
2、“归谬”的操练：“归谬”即“假定论断的背面建立，而致使抵触。”便是说将论断的背面作为前提后，颠末逻辑推理，导出抵触的成果，这岂可是反证法的首要局部，并且也是焦点局部。先生初学时，为好”。普通来说，用“直接证法”的时辰占多数，但遇以下环境可斟酌用“反证法”。
1、当直接证实某个命题有坚苦或不能够或许或许或许时，可斟酌操纵“反证法”。
2、否认性标题标题题目：在此类标题标题题目中，论断的背面便能够或许或许或许就更加详细，经常能够或许或许或许由此去推出抵触，从而否认能够或许或许或许，而必定了不能够或许或许或许。
3、独一性标题标题题目：此类标题标题题目中，论断的背面是不独一的，那末，起码可有两个差别者，由此去推出抵触，来否认不独一，从而必定独一。
在以后数学讲授中常接纳的反证法和公式、定理的逆用等都是操纵了逆向思惟，以下本文将简略先容若安在初中数学讲授中开辟和操纵逆向思惟。
一、逆向思惟在初中数学讲授中的操纵
逆向思惟的首要意思便是要突破先生的思惟定式，消除先生固有的思惟框架，逆向思惟便是在思虑标题标题题目时思惟产生渐变和腾跃，从而取得全新的解题思绪和体例，逆向思惟是扶植新实际、成长新迷信的首要路子。在数学讲授中常操纵的假定须要解变量为x，即逆向思惟在数学中最罕见的操纵，其道理便是把本来须要解的未知数假定为x代入算式中，视x为已知，操纵干系式反推而终究求出x的值。早在19世纪逆向思惟就被操纵到数学讲授中，从而得出了“非欧多少”，20世纪的“恍惚数学”也是逆向思惟在数学讲授中操纵的典范事例。
二、数学讲授中逆向思惟的开辟和熬炼
对若安在初中数学讲授中开辟和熬炼先生的逆向思惟，笔者有以下两点倡议。
1.将逆向讲授渗入根本常识的讲授中
数学是初中教导的根本学科之一，在正视先生对根本常识谙练把握和操纵的同时，将逆向思惟、逆向讲授引入，岂但能够或许或许或许加深先生对根本常识的体会，还能够或许或许或许开辟先生的思惟能力和思虑体例。在观点等根本常识的讲授上应侧重增强逆向思惟的教导。比方在观点中存在良多的“互为”干系，如“互为相反数”“互为倒数”等，教员能够或许或许或许操纵如许的观点来指导先生从正反两个方面阐发和处理标题标题题目，培育先生逆向思惟的能力，赞助先生建立双向的思惟情势。若是教员能够或许或许或许在数学讲授中得当、当令地指导先生服从题的背面来思虑标题标题题目，那末先生的逆向思惟能力就会在根本常识的讲授中逐步被开辟出来。
2.强化逆向思惟在解题体例上的渗入
①阐发法。阐发法重视由论断倒推须要得出解题谜底的条
件，倒推进程中会发明解题须要的充实前提都在已知前提中，阐发法能够或许或许或许赞助先生熟悉到解题进程是可逆的，有助于先生逆向思
维能力的培育。②反证法。反证法便是操纵已知前提推实际断来证实命题的相背面不建立，从而证实命题建立，反证法属于直接求证的体例，数学中的良多命题从正面得出论断长短常难的，这时候普通城市接纳反证法，增强先生对反证法操纵的熬炼，有助于开辟先生的逆向思惟、拓展先生思惟的深度和广度。③举反例法。在处理数学标题标题题目时，若要证实某个命题是错的，除直接证实外，还能够或许或许或许接纳举反例的体例来证实。即找出一个合适命题的前提，可是在该前提下命题论断并不建立的例子，如许就证实这个命题是弊端的，举反例法须要先生从逆历来对待标题标题题目、处理标题标题题目。是以，增强先生举反例的熬炼，也可极大地开辟先生的逆向思惟能力。
数学作为一门首要的学科之一，先生很是有须要学好数学，
如许先生能力更好地成长本身的学业。在新课程规范的鞭策下，逆向思惟的操纵对初中数学讲授来说尤其首要。先生只需把握好逆向思惟的操纵，能力更好地把握数学根本常识，拓展设想力，进而有用拓展新的解题思绪。
参考文献：
所谓配方，便是把一个剖析式操纵恒等变形的体例，使此中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和的情势，经由进程配方处理数学标题标题题目标体例叫做配体例。此中，用的最多的是配成完整平体例，配体例是数学中一种首要的恒等变形的体例，它的操纵很是普遍。在因式分化、化简根式、解方程、证实等式和不等式、求函数的最大值最小值和剖析式等方面，都经经常操纵到它。
2、因式分化法
因式分化，便是把一个多项式化成几个整式乘积的情势，因式分化是恒等变形的根本之一，它作为数学的一个无力东西、一种解题体例，在代数、多少、三角的解题中起着首要的感化，因式分化的体例有很多，除讲义上先容的提取公因式法、公式法、分组分化法、十字相乘法外，还可操纵拆项添项、求根分化、换元、待定系数等来分化。
3、换元法
换元法是数学中一个很是首要并且操纵很是普遍的解题体例，咱们凡是把未知数或变数称为元。所谓换元法，便是在一个比拟庞杂的数学式中，用新的变元去取代原式的一个局部，或革新本来的款式，使它简化，从而使标题标题题目易于处理。比方，在解分式方程时就会用到这类体例。
4、待定系数法
在解数学题时，偶然所求的成果具备某种必定的情势，此中含有某些待定的系数，那末咱们能够或许或许或许按照题设前提列出对待定系数的等式，而后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种干系，从而解答数学标题标题题目。这类解题体例称为待定系数法。它是中学数学中经常操纵的体例之一。在正比例函数、一次函数的标题标题题目中，经经常操纵到这类体例。
5、机关法
在解题时，咱们经常会接纳如许的体例：经由进程对前提和论断的阐发，机关帮助元素（它能够或许或许或许是一个图形、一个方程（组）、一个等式、一个函数、一个等价命题等），架起一座毗连前提和论断的桥梁，从而使标题标题题目得以处理，这类解题的数学体例，称为机关法，操纵机关法解题，能够或许或许或许使代数、多少、三角等各类数学常识彼此渗入，有益于标题标题题目标处理。
6、反证法
反证法是一种直接证法。它先提出一个与命题的论断相反的假定，而后，从这个假定动身，颠末精确的推理，致使抵触，从而否认本来的假定，到达必定原命题精确的目标，反证法能够或许或许或许分为归谬反证法（论断的背面只需一种）与穷举反证法（论断的背面不但一种）。用反证法证实一个命题的步骤，大致上分为：⑴反设；⑵归谬；⑶论断。
7、面积法
立体多少中讲的面积公式和由面积公式推出的与面积计较有关的性子、定理，不但可用于计较面积，并且用它们来证实立体多少题偶然会收到事半功倍的结果，操纵面积干系来证实或计较立体多少题的体例，称为面积法，它是多少中的一种经常操纵体例。在证实勾股定理时，咱们就经经常操纵面积法。
